Космология

Законы Кеплера о движении планет

Отправлено: Январь 25, 2018 в 23:29

Категория: «Как это работает?»

Астрономия была интересна Кеплеру с ранних лет, но перенесенная в детстве оспа сильно ударила по зрению будущего ученого и серьезно ограничила его в возможности самостоятельного проведения наблюдений. Однако интерес к науке не был утрачен. Во время обучения в университете в Тюбингене Кеплер познакомился с гелиоцентрической системой Николая Коперника и сразу же ее поддержал. Свою первую книгу «Тайна мироздания» великий астроном выпустил в 1596 году во время работы в Грацком университете – это была его первая попытка поиска математической гармонии Вселенной, позже работа была переиздана с многочисленными правками.

В начале века Кеплер переехал в Прагу, где около года проработал ассистентом Тихо Браге, а после смерти последнего стал его приемником на должности королевского астронома и астролога. В распоряжение Кеплера попал огромный, отлично систематизированный и крайне точный, по меркам того времени, архив Браге с данными о наблюдениях за планетами. Обработка и поиск закономерностей в таком объеме информации – сложная задача даже для современных компьютеров. Но уже в 1609 году первые два закона Кеплера, полученные путем интуитивного анализа и проведенных вручную вычислений, были опубликованы в книге «Новая астрономия». Вероятно, во избежание лишних конфликтов с церковью, новые законы применялись исключительно для описания движения Марса.

Он жил в эпоху, когда ещё не было уверенности в существовании некоторой общей закономерности для всех явлений природы. Какой глубокой была у него вера в такую закономерность, если, работая в одиночестве, никем не поддерживаемый и не понятый, он на протяжении многих десятков лет черпал в ней силы для трудного и кропотливого эмпирического исследования движения планет и математических законов этого движения!

Альбер Эйнштейн

Третий закон был открыт в 1618 году, после переезда Кеплера в Линц, и впервые опубликован в книге «Гармония мира». В этот раз обнаруженные закономерности ученый применяет уже ко всем планетам и спутникам Солнечной системы. Все работы Кеплера, включая неопубликованные на момент его смерти в 1630 году, были изданы сборником в 22 томах, четыре из которых считаются утерянными, а оставшиеся хранятся в Санкт-Петербургском филиале архива РАН.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Первый закон Кеплера

Орбита каждой планеты Солнечной системы – это эллипс, в одной из фокальных точек которого находится Солнце.

Стоит сразу отметить, что форма эллипса характеризуется отношением e = c / a, где c – расстояние между фокусом и центром, a – большая полуось, т.е. половина наибольшего возможного диаметра. Окружность является частным случаем эллипса, при котором с = 0.

Отношение, о котором говорилось выше, называют эксцентриситетом и с его помощью характеризуют степень вытянутости орбиты планеты. Как видно на рисунке, планета по мере своего движения может приблизиться к Солнцу на минимальное расстояние (перигелий) или, напротив, максимально отдалиться (афелий). Самый большой эксцентриситет орбиты у Меркурия – 0,205; затем идет Марс со значением 0,094. До открытия первого закона Кеплера орбиты планет считались круговыми, а если это не сходилось с данными наблюдений, то в ход шли дополнительные малые круги, называемые эпициклами. Философы того времени постулировали совершенство и гармонию небесного устройства, а круги и сферы считали идеальными фигурами. Проанализировав данные Тихо Браге и отбросив предрассудки, Кеплер пришел к выводу, что орбиты планет представляют собой вложенные друг в друга эллипсы.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера

Радиус-вектор, соединяющий планету и Солнце, за равные промежутки времени описывает равные площади.

Применяя этот закон к нашей планете, мы можем сделать вывод, что скорость ее движения по орбите неравномерна. Проходя через перигелий (начало января) Земля движется максимально быстро, а в афелии (начало июля) ее скорость минимальна. Увидеть этот эффект можно наблюдая за перемещением Солнца по эклиптике. Скорость движения планеты в перигелии всего в 1,0339 раза больше, чем в афелии, что дает абсолютное значение около 1 километра в секунду. Второй закон Кеплера является следствием закона сохранения углового момента и говорит нам, что сила, воздействующая на планеты, направлена к Солнцу.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей.

Третий закон Кеплера

В этом уравнении T1 и T2 – периоды обращения планет, а a1 и a2 – длины больших полуосей. Если в предыдущих двух законах речь идет об орбитах отдельно взятых объектов, то с помощью третьего закона мы можем сравнить орбитальные параметры разных планет в относительных единицах. Расстояние от Земли до Солнца равно одной астрономической единице (~150 000 000 км), а на полный оборот вокруг светила уходит один год. Следовательно, используя эти единицы измерения, мы можем упростить формулу, убрав из нее орбитальные параметры нашей планеты:

(T1)2 = (a1)3

Наблюдая за движением Марса, не сложно установить, что период его обращения по орбите равен 687 дням или 1,88 года. Подставив это значение в формулу, мы получим 1,524 астрономических единиц. Вычислить значение радиуса орбиты Марса в абсолютных единицах измерения при жизни Кеплера не представлялось возможным, так как в то время еще не было, с хоть сколько-нибудь приемлемой точностью, установлено расстояние от Земли до Солнца. Однако, даже относительное измерение Солнечной системы стало гигантским прорывом для астрономии.

От Ньютона до наших дней

Благодаря открытиям Кеплера, гелиоцентрическая система мира вышла на качественно новый уровень развития: было объяснено неравномерное движение планет; Земля утратила свой особый статус, который ей приписывался Коперником; удалось избавиться от нагромождения эпициклов. В своих работах Ньютон подтвердил правильность законов Кеплера, ученый математически вывел их из законов механики, закона сохранения углового момента и закона всемирного тяготения. Ему также удалось найти неточность в третьем законе и доработать его, добавив в формулу массу звезды и массы планет:

Вариант Ньютона для третьего закона Кеплера

Изложенная Кеплером теория верна не только для любой планетной системы во Вселенной, но также может применяться при расчете орбит искусственных и естественных спутников – в этом случае центром тяготения будет считаться планета. На данный момент астрономы открыли почти четыре тысячи экзопланет и, хотя они не доступны для прямого наблюдения, уравнения Кеплера активно применяются для расчета параметров их орбит. Достаточное большое число звезд находятся в двойных системах и изучение таких систем крайне важно для понимания процессов звездообразования. Даже если одна из звезд-компаньонов слишком тусклая, чтобы можно было наблюдать ее напрямую, применяя третий закон Кеплера астрономы могут рассчитать характеристики системы и узнать ее общую массу.

А завершить материал хотелось бы цитатой великого астронома относительно астрологии:

Конечно, эта астрология – глупая дочка, но, Боже мой, куда бы делась её мать, высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочка должна болтать и лгать. И жалованье математиков так ничтожно, что мать, наверное бы, голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала.

Иоганн Кеплер