Космология

Измеряем радиус Земли

Отправлено: Ноябрь 12, 2017 в 18:17

Категория: «Как это работает?»

В древности люди представляли нашу планету по-разному: жители Вавилона считали, что живут на одном из склонов «мировой» горы, окруженной морем; в Индии Земля считалась полусферой, которая опирается на спины слонов; древние египтяне видели мир как долину, вытянутую с севера на юг. Как же ученым, жившим еще до нашей эры, удалось прийти к форме шара и даже достаточно точно вычислить его радиус?

Форма Земли, исторический экскурс

Считается, что первым идею о шарообразности Земли выдвинул Пифагор в VI веке до нашей эры. Но он, как и многие великие мыслители того времени, не стал утруждать себя доказательствами и обосновал свою гипотезу красотой и совершенством шара. Имеются косвенные доказательства того, что подобного рода идеи выдвигались и ранее, как в Греции, так и в Египте, но они либо преподносились в излишне метафоричной форме, либо не имеют сколько-нибудь надежной датировки. Давайте попробуем поставить себя на место древнегреческого философа и выдвинуть несколько предположений о форме Земли, основываясь на наблюдении окружающего нас мира.

Кругосветные путешествия и точные инструменты навигации нам еще не доступны, но корабли уже имеются. Если мы будем стоять на пирсе и наблюдать как трирема уходит в открытое море, то легко заметим, что сначала за горизонтом скроется корпус лодки, потом половина паруса, а потом и весь корабль. Доказывает ли такое наблюдение шарообразность нашей планеты? Для выдвижения гипотезы этого достаточно, но тот же полусферический мир индусов вполне соответствует данному наблюдению. К выводу об искривлённости земной поверхности можно прийти также, наблюдая за постепенно появляющейся из-за горизонта горой.

Идею об абсолютно плоской Земле мы уже откинули предыдущими наблюдениями, двигаемся дальше. Теперь настала пора направить свой взгляд на небо, как это сделал Аристотель, в конце концов и доказавший сферическую форму нашего мира. Он много путешествовал, в частности, бывал на Кипре и в Египте, а ночное небо там несколько отличается от того, которое наблюдается на территории Греции. Искривление поверхности Земли, при путешествиях на достаточно большие расстояния, позволяет увидеть новые звезды, при том что некоторые знакомые нам светила, наоборот выпадают из поля видимости. Наша гипотеза продолжает обрастать доказательствами, но хотелось бы увидеть форму Земли напрямую… и это возможно.

Отклонение орбит Земли и Луны
Отклонение между плоскостями орбит позволяет наблюдать прохождение тени от разных полушарий Земли по лунной поверхности (кликабельно).

Лунные затмения – не такое уж редкое событие, они случаются от двух до четырех раз в год. Наблюдая за ними Аристотель и смог окончательно доказать свою теорию шарообразной Земли. Во время полного затмения наша планета закрывает Луну от Солнца целиком. Это событие длится вплоть до четырех часов, в течение которых тень Земли перемещается по лунной поверхности. Мы фактически можем наблюдать форму Земли своими глазами. Не менее интересны и частичные лунные затмения. Дело в том, что плоскость орбиты Луны расположена под углом примерно в 5 градусов относительно плоскости орбиты Земли вокруг Солнца. Именно поэтому не все затмения, которые мы наблюдаем, полные. Зато, наклон орбиты позволяет наблюдать прохождение по диску Луны тени как от северного, так и от южного полушария.

Вычисляем радиус нашей планеты

Скафис - древнегреческие солнечные часы

Для начала стоит рассказать об измерениях, проведенных древнегреческим ученым Эрастофеном приблизительно за 250 лет до нашей эры. Ученый жил в Александрии и ему даже не потребовалось покидать город, чтобы провести достаточно точные вычисления. Он знал, что в день летнего солнцестояния в Сиене (в наше время Асуан, Египет), в определенный момент времени солнечный диск отражается на дне самых глубоких колодцев, т.е. Солнце расположено прямо над головой наблюдателя. Город действительно расположен очень близко к северному тропику, параллели на которой в полдень летнего солнцестояния тень полностью отсутствует. Отклонение в Сиене составляет всего лишь 1/400 от высоты объекта или 0,143°.

Солнце находится от нас на значительно большем расстоянии, чем радиус Земли и, следовательно, его лучи можно считать параллельными. У древних греков уже были общие представления о том, как можно измерить это расстояние, хоть и крайне неточно, но на таких масштабах даже ошибка в несколько порядков не играет значительной роли. Эрастофен воспользовался солнечными часами, под названием скафис, для того чтобы определить насколько в день летнего солнцестояния Солнце отклоняется от зенита в Александрии. Скафис представляет собой каменный или медный полушар с вертикальным колышком центре и делениями на внутренней поверхности чаши (см. рисунок). Проведя измерения Эрастофен пришел к выводу, что расстояние между Сиеной и Александрией составляет 1/50 от окружности нашей планеты. Зная, что расстояние между городами составляет 5000 стадий, ученый легко вычислил радиус Земли – 250 000 стадий.

Вычисления Эрастофена, радиус Земли
Рисунок показывает методику и результаты проведенного исследования (кликабельно).

К сожалению, не сохранилось точных данных для перевода использованных Эрастофеном единиц измерения в километры и в зависимости от применяемого коэффициента перевода оценка точности его измерений может варьироваться. Также стоит отметить, что города находятся не совсем на одном меридиане, Сиена немного смещена на восток. Если использовать для перевода олимпийские стадии (176 м) и разделить результат на 2π, то мы получаем радиус Земли приблизительно в 7 000 км. По современным данным средний радиус составляет 6 371 км, соответственно Эрастофен ошибся всего лишь на 10%.
Вполне вероятно, что еще раньше у него была предварительна оценка, связанная с определением радиуса видимости на поверхности воды. Принцип примерно тот же, но в этот раз мы воспользуемся готовой формулой и подставим в нее очень приблизительные значения, более-менее соответствующие уровню точности измерений в древности.

Вычисление радиуса видимости

Где R – радиус Земли, h – высота наблюдателя над уровнем моря, r – видимое расстояние. Примем, что с высоты 10 м мы имеем радиус видимости в 10 км, тогда искомая величина составит 5000 км. Ошибка получается больше 20%, но порядок значения верный. Если вам доведется в ясный день отправится в морское путешествие, то со знанием высоты смотровой площадки корабля над уровнем моря и данными о расстоянии до суши на основании GPS, вы сможете получить гораздо более точный результат.

Измерения продолжаются

После Эрастофена на протяжении многих столетий никто не пытался снова измерить окружность Земли. В целом его метод был абсолютно верным, но точность измерения расстояний, основанная на времени перемещения караванов между городами, оставляла желать лучшего. Следующая, достойная упоминания попытка измерить радиус Земли, была предпринята французским астрономом, математиком и королевским врачом Жаном Френелем в 1528 году. Он отправился на север от Парижа, планируя измерить дугу в 1 градус и предполагая, что весь его путь лежит в одном меридиане. Сверяясь с расчётными данными о высоте Солнца в столице ученый достиг Амьена, где в ходе измерений получил нужное ему отклонение. Расстояние между городами Фернель подсчитал на обратном пути, основываясь на числе оборотов колеса своей повозки. Ему повезло, города и правда лежат фактически в одном меридиане, а различные неточности измерений по счастливой случайности скомпенсировали друг друга. Результат составил 6326 км, практически в яблочко.

Следующее измерение провел голландский астроном Виллеброрд Снелл в 1614 – 1617 годах. Его результат (6 149,8 км) оказался менее точным, чем у Фернеля, но примечательна сама методика – первое применение метода триангуляции. Именно таким образом измеряют расстояния на поверхности Земли в наше время, вся разница лишь в доступных технических средствах. Триангуляция хороша тем, что точности измерения больших расстояний не препятствуют естественные преграды, такие как леса, озера или болота.

Измерение расстояний методом триангуляции

Для начала необходимо предельно точно установить совсем небольшое расстояние между двумя точками (A и B) из которых видна какая-нибудь возвышенность (C), например, холм или башня. При помощи теодолита, наблюдая из точек A и B за неким предметом в точке C, можно легко установить значения всех углов треугольника. Зная значение стороны AB и все углы, мы легко можем установить расстояния AC и BC, воспользовавшись теоремой синусов (или даже прямым измерением на масштабной копии). Далее мы можем таким же образом измерить расстояние до новой точки D и продолжить достраивать сеть треугольников все дальше и дальше. В конце концов по правилам тригонометрии получится вычислить расстояние между любыми вершинами любых двух треугольников из нашей сети, как далеко бы они не находились.

Уже во второй половине XVII века великий физик и математик Исаак Ньютон предположил, что у Земли не один радиус, а два слегка различающихся, т.е. она немного сплюснута на полюсах. Согласно его расчётам, экваториальный радиус был больше полярного на 1/230 от среднего радиуса. В 1735 – 1737 годах Парижская академия наук учредила две экспедиции, перед которыми была поставлена задача измерить дуги меридиана на различных широтах. Обработав данные обеих экспедиций ученые пришли к выводу, что Ньютон был прав. Различные исследования, касающиеся уточнения формы (даже общепринятый термин «геоид» не описывает ее с абсолютной точностью) и радиуса Земли проводятся и в наше время. Однако, для вычислений, в которых не требуется точность свыше 0,5%, вполне достаточно считать нашу планету шаром со средним радиусом в 6371 км.