Космология

Как измерили расстояние до Луны и ее радиус?

Отправлено: Ноябрь 23, 2017 в 21:02

Категория: «Как это работает?»

Наш естественный спутник Луна притягивает взгляды людей уже не одно тысячелетие. Она является вторым по яркости объектом на небе после Солнца и во многом оказывает влияние на земную жизнь, например, именно благодаря Луне существуют приливы и отливы. Впервые расстояние до Луны измерил древнегреческий астроном и математик Гиппарх во втором веке до нашей эры.

Угловой размер Луны

Сначала определимся с входными данными, которые понадобятся нам для вычислений. Во время полного солнечного затмения мы можем увидеть, что диск Луны практически идеально точно перекрывает поверхность Солнца. Астрономам это наблюдение говорит о том, что угловые размеры Луны и Солнца практически одинаковы. Угловым диаметром называют угол между двумя лучами, испущенными из глаз наблюдателя, которые проходят через крайние противоположенные точки измеряемого объекта (см. рисунок ниже).

Угловой диаметр Солнца
Базовой принцип измерения углового диаметра Солнца (кликабельно).

Для проведения измерений вам не потребуется никаких специальных инструментов. В полнолуние сверните небольшой лист бумаги таким образом, чтобы он полностью закрывал диск Луны. Разделив ширину листка на расстояние от него до ваших глаз, вы получите угловой размер выраженный в радианах. В данном случае нет необходимости применять математически точную формулу, так как для небольших углов tg α ≈ α. Не проводите такие измерения для Солнца! Вы можете серьезно повредить себе глаза.

Определение угловых размеров удаленных объектов и угловых расстояний между объектами является важной частью астрономических наблюдений и неоднократно будет упоминаться в будущих материалах. Для их указания обычно используют минуты и секунды дуги. Для перевода минут дуги в градусы просто разделите значение на 60, например, видимый диаметр Луны составляет примерно 30′ или 0,5 градусов. Вторая, часто применяемая единица измерения – радианы, она позволяет упростить предварительные расчеты и избавится от тригонометрии. Один радиан представляет собой угол, который соответствует дуге, длиной в радиус окружности (см. рисунок). Для перевода минут дуги в радианы показатель нужно умножить на π / 10800, таки образом мы получаем для Луны значение ~0,0087.

1 радиан

Мы уже знаем приблизительный радиус Земли из предыдущей статьи, а также знаем о существовании лунных затмений, в ходе которых наша планета бросает тень на поверхность Луны. Для дальнейших вычислений нам также потребуется угловой размер земной тени в полное лунное затмение. Ее более чем в два с половиной раза превосходит диаметр Луны и, соответственно, измерить тень напрямую несколько проблематично. Однако, в ходе наблюдений можно засечь время, за которое Луна будет впервые полностью закрыта тенью от одного края Земли, а затем измерить время до того момента, как тень от противоположенного края начнет уходить с лунного диска. Решив пропорцию, мы получим приблизительное значение в 80′ или 0,023 радиан. Теперь у нас есть все необходимые входные данные, можно начинать вычисления.

Расстояние до Луны

Все расчеты базируются на простой евклидовой геометрии, представленной на рисунке ниже, который схематично показывает лунное затмение. Мы будем базироваться на допущении, что расстояние между Землей и Солнцем значительно больше, чем расстояние до Луны. Таким образом, мы можем считать угол α равным угловому диаметру Солнца, который, в свою очередь, приблизительно равен лунному.

Расстояние до Луны - схема измерения
Схема определения расстояния до Луны по методике Аристарха. Вычисления впервые были проведены Гипархом.
Журнал «Природа», №7, 2008 г.

Диаметр Земли является основанием треугольника ABC, а пока неизвестная нам протяженность тени во время лунного затмении служит основанием A′BC′. Данные равнобедренные треугольники подобны, так как имеют одинаковые углы, следовательно, отношение их высот равно коэффициенту подобия. Составляем пропорцию:

Пропорция высот и диаметров

Если мы обозначим расстояние до Луны через L, то диаметр земной тени будет равен DЗТ = L * β. Также высота треугольника A′BC′ равна HЛ = HЗ – L, а высота ABC равна HЗ = DЗ / α. Проведем серию подстановок:

Вычисление расстояния до Луны

Умножив расстояние до Луны на ее угловой размер, мы получим приблизительный диаметр в 3497 км, что весьма близко к реальности. Для сравнения приведем точные современные данные: большая полуось – 384 399 км, средний диаметр – 3 474 км. Получилось весьма неплохо с учетом невысокой точности угловых измерений. Диаметр земной тени можете вычислить самостоятельно, все необходимые для этого данные мы уже получили.

На текущий момент мы знаем, что орбита Луны эллиптическая с эксцентриситетом 0,0549. В своей ближайшей точке (перигей) спутник подходит к нам 356 400 км, а максимальное его удаление (апогей) составляет 406 700 км. Расстояние до Луны в наше время определяется с фантастической точностью при помощи лазерной локации. 21 июля 1969 года астронавты программы «Аполлон 11» оставили на поверхности Луны первый угловой отражатель, предназначенный для такого рода измерений. Суть метода состоит в том, что с Земли на отражатель посылается сфокусированный лазерный луч (на лунной поверхности площадь пучка получается около 25 км2), часть света возвращается обратно на детектор. Зная точное время, затраченное светом на дорогу туда и обратно, а также скорость света, можно легко определить расстояние.